Fractales

En esta entrada hablaremos sobre los fractales, unas figuras geométricas muy comunes en la naturaleza y, sin lugar a duda, de  gran belleza ya sea estética o matemática.

Un fractal es una figura geométrica simple, que se repite a distintas escalas.

Un fractal puede provocar un efecto visual bastante bonito y de apariencia compleja, pero detrás de él, hay una maravillosa fórmula matemática.

¿Arruinar al casino? "La Martingala"

La Martingala es un método para apostar en juegos de azar. El método consiste en apostar una cantidad inicial y en caso de perder, doblar dicha apuesta, si se volviese a perder, se volvería a doblar la apuesta, y así sucesivamente hasta que se gane. En el instante en el que el jugador gana, se lleva una recompensa del valor que apostó inicialmente.
Realizando esto sucesivas veces, parece lógico que el jugador se lleve la apuesta incial multiplicado por el número de veces que haya ganado, es decir, cuanto más juegues, más dinero te llevas. Veamoslo con un ejemplo, imaginemos que jugamos a la ruleta en el casino.

La paradoja de Banach-Tarski: Cómo construir el Sol a partir de un guisante.

Hoy regresamos para hablaros de una interesante versión del milagro de los panes y los peces: “la paradoja de Banach-Tarski”.
Una paradoja no es ni más ni menos una verdad chocante que desafía nuestro sentido común. Pero esto no quiere decir que no sea verdad, simplemente que nuestra mente no está acostumbrada a manejar ciertas situaciones como seres humanos que somos condicionados por nuestros sentidos.
La paradoja de Banach-Tarski surge de la verdad que nos revela el teorema que lleva el mismo nombre. Este teorema es el fruto de las intensas colaboraciones que llevaron a cabo dos gigantes de las matemáticas del siglo XX: Stephan Banach (matemático polaco padre del importante concepto del Análisis Funcional conocido como “espacio de Banach”) y Alfred Tarski (también polaco, gran impulsor de la filosofía de las matemáticas y la lógica). El resultado es el siguiente:

“ Si A y A' son subconjuntos de R^3 acotados y de interior no vacío, entonces son congruentes a trozos.”

Regla de l'Hôpital quizás no sea un nombre apropiado.

Escribir el nombre completo de Guillaume de l'Hôpital ocuparía todo un párrafo entero, así que una versión mucho más reducida seria:

Guillaume-François-Antoine Marqués de l'Hôpital, marqués de Sainte-Mesme, Comte d'Entremont y Seigneur d'Ouques-la-Chaise.

Nació en París en 1661, en el seno de una familia noble francesa. Su padre era un Teniente General del Ejército del Rey, y su madre era hija de un Intendente en el mismo Ejército y Consejero de Estado.

Conjuntos CuCu

¿Qué son los conjuntos CuCu?
Lo primero, me gustaría hacer referencia al creador del blog "gaussianos" que es el que le ha dado nombre a dichos conjuntos. ¿Qué cuáles son dichos conjuntos? Pues un conjunto CuCu es un conjunto de números naturales tales que la suma de sus cubos sea igual al cuadrado de su suma.
Un ejemplo de conjunto CuCu es el formado por el 1,2,..., n con 'n' natural, ya que se cumple:

1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2

Es fácil de comprobarlo por inducción, se deja como ejercicio al lector.
Ahora bien, ¿existe algún otro conjunto CuCu?

Hotel infinito

El matemático Hilbert, era dueño y recepcionista de un hotel con dos peculiaridades. La primera es que en la recepción había un micrófono que se comunicaba con todas las habitaciones, la segunda, más importante aún, es que el hotel tenía infinitas habitaciones.
Un día, por extraño que parezca, el hotel se llenó.
Por la tarde llegó un tal Cantor, que deseaba una habitación y se la pidió a Hilbert. El problema era que todas las habitaciones estaban llenas, pero Hilbert encontró una solución para que Cantor pudiese pasar la noche en su hotel. Cogió el micrófono y dijo: "Cada huésped que salga de su habitación y se pase a la siguiente".
De tal manera que el que estuviese en la habitación nueve, pasaría a la diez, el de la trigésimo cuarta habitación, pasaría a la trigesimo quinta,... con lo que la habitación número uno, quedó vacía y Cantor pudo quedarse ahí. Como el hotel tenía infinitas habitaciones, no había ultima habitación.

Números Cíclicos

El número 142.857 es uno de los enteros más curiosos. Pues, aparte del número 1, donde la propiedad es trivial, es el mínimo de los «números cíclicos». Veamos ahora la definición de número cíclico:

Un número cíclico es un número entero de n cifras que presenta la característica de que al multiplicarlo por cualquier número no superior a n (es decir, entre 1 y n, ambos incluidos), el resultado será un producto con las mismas cifras y en el mismo orden cíclico, es decir, empezando por distinta cifra, pero siguiendo el mismo orden hasta el final, para después continuar con las cifras del principio del número original.

Una de sus muchas características es que al multiplicarlo por una unidad más, (por n+1), el resultado estará compuesto unicamente por nueves.
Veamos el caso de 142.857:

1 x 142.857 = 142.857
2 x 142.857 = 285.714
3 x 142.857 = 428.571
4 x 142.857 = 571.428
5 x 142.857 = 714.285
6 x 142.857 = 857.142
7 x 142.857 = 999.999

Problema: Triángulo mágico

Bueno, supongo que muchos de vosotros alguna vez habrá jugado a completar una especie de cuadrado "mágico" con ciertos números de tal manera que la suma de cada horizontal, vertical y diagonal sea la misma cantidad.
Esta problema es similar, en lugar de ser un cuadrado, será un triángulo (como el que aparece más abajo). En él se deberá colocar los números del 1 al 9, sin repetir, de tal manera que la suma de cada arista del triángulo sume una misma cantidad. Puesto que no es complicado, se plantea que se intente que, en primer lugar, la suma de las arista sea 20. Una vez superado este reto, podeis intentar que la suma de cada arista sea 17.
Suerte.

Todos los caminos llevan a Roma... pero aún así te aconsejo mirar un mapa.

Hoy os traemos un pequeño aperitivo geométrico de la mano de los señores Delaunay y Voronoi, dos matemáticos rusos que le han hecho la vida más fácil a toda una multitud de diversos profesionales tales como arquitectos o ingenieros de caminos gracias al método que os vamos a explicar.

En resumidas cuentas, lo que hoy vamos a intentar hacer es pintar imágenes como esta: