Conjuntos CuCu

¿Qué son los conjuntos CuCu?
Lo primero, me gustaría hacer referencia al creador del blog "gaussianos" que es el que le ha dado nombre a dichos conjuntos. ¿Qué cuáles son dichos conjuntos? Pues un conjunto CuCu es un conjunto de números naturales tales que la suma de sus cubos sea igual al cuadrado de su suma.
Un ejemplo de conjunto CuCu es el formado por el 1,2,..., n con 'n' natural, ya que se cumple:

1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2

Es fácil de comprobarlo por inducción, se deja como ejercicio al lector.
Ahora bien, ¿existe algún otro conjunto CuCu?

Veamos no sólo que existe, si no una manera de generarlos, dicho procedimiento se lo debemos a Joseph Liouville y consiste en lo siguiente:

1. Se toma un natural cualquiera y calculamos los divisores de dicho número.
2. De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
3. Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.

Ejemplo: Número 20

1. Los divisores de 20 son 1,2,4,5,10,20.
2. Ahora:
   - El 1 tiene 1 divisor (el 1 solamente).
   - El 2 tiene 2 divisores (el 1 y el 2).
   - El 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4).
   - El 5 tiene 2 divisores (el 1 y el 5).
   - El 10 tiene 4 divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
   - El 20 tiene 6 divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
3. Entonces el conjunto {1,2,3,2,4,6} es un conjunto CuCu, ya que satisface:

1^3+2^3+3^3+2^3+4^3+6^3 = (1+2+3+2+4+6)^2

Me gustaría aclarar una cosa, realmente  {1,2,3,2,4,6} no es un conjunto propiamente dicho, ya que en los conjuntos sólo se dice los elementos que pertenecen una única vez, pero bueno, digamos que en los conjuntos CuCu no son estrictamente conjuntos.
Dado este método podemos sacar infinitos conjuntos CuCu, pero ¿podemos asegurar que se generan todos los conjuntos CuCu? Dejo la respuesta en el aire porque desconozco la respuesta.
Unas cosas curiosas que me he dado cuenta, ya sabéis lo mucho que me gustan los números primos, curiosamente cualquier número primo siempre forma el conjunto CuCu: {1,2} y si en lugar de un primo, elegimos un número que sea potencia de primo (p^n), se tiene el conjunto CuCu: {1,2,...(n+1)}que es el que el lector debe ya haber probado por inducción.

Fuente: http://gaussianos.com/como-generar-conjuntos-cucu/