Números Cíclicos

El número 142.857 es uno de los enteros más curiosos. Pues, aparte del número 1, donde la propiedad es trivial, es el mínimo de los «números cíclicos». Veamos ahora la definición de número cíclico:

Un número cíclico es un número entero de n cifras que presenta la característica de que al multiplicarlo por cualquier número no superior a n (es decir, entre 1 y n, ambos incluidos), el resultado será un producto con las mismas cifras y en el mismo orden cíclico, es decir, empezando por distinta cifra, pero siguiendo el mismo orden hasta el final, para después continuar con las cifras del principio del número original.

Una de sus muchas características es que al multiplicarlo por una unidad más, (por n+1), el resultado estará compuesto unicamente por nueves.
Veamos el caso de 142.857:

1 x 142.857 = 142.857
2 x 142.857 = 285.714
3 x 142.857 = 428.571
4 x 142.857 = 571.428
5 x 142.857 = 714.285
6 x 142.857 = 857.142
7 x 142.857 = 999.999



La naturaleza cíclica de estos seis productos ha venido intrigando desde hace mucho a los ilusionistas. Muchos finos trucos de predicción matemática se inspiran en ellos.

Hace muchos siglos, cuando los matemáticos cayeron en la cuenta del carácter cíclico de 142.857, empezaron a buscar otros números más grandes que tuvieran esta misma antojadiza propiedad. Vamos a ver primero como se puede conseguir el primer número cíclico, y así utilizaremos este procedimiento para encontrar los siguientes.

Resulta que todos los números cíclicos son los periodos de la expresión decimal de las fracciones recíprocas de ciertos números primos.Por ejemplo, la fracción recíproca de 7, esto es, 1/7, genera el decimal ilimitado 0,142 857 142 857 142 857... Observemos que el número de cifras del período es de una menos que 7. En este caso hemos obtenido el primer número cíclico,142852.

Tenemos así un procedimiento para descubrir otros números cíclicos mayores. En el caso de 1/ p , siendo p un número primo, si el resultado fuese un decimal periódico cuyo período estuviera compuesto por p-1 cifras, tal período sería número cíclico.

El mínimo número primo siguiente que genera números así es 17. Su período es el cíclico 0 588 235 294 117 647, que consta de 16 cifras y este es el segundo número cíclico. Multiplicado este número por cualquier otro comprendido entre 1 y 16, ambos inclusive, se reproducen en el producto los 16 dígitos anteriores, y en el mismo orden cíclico.

El tercer número cíclico es el 052 631 578 947 368 421, que consta de 18 cifras y esta generado por el número primo 19.

Entre los números primos menores que 100 hay exactamente nueve que generen números cíclicos, a saber, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97.

Estos curiosos números tienen muchas otras extrañas propiedades, quizás podamos encontrar alguna nosotros mismos con algo de paciencia. Por ejemplo:

-Partiendo por la mitad dicho número, o cualquiera de los resultados obtenidos al hacer las multiplicaciones indicadas, es decir, cualquiera en el mismo orden cíclico, la suma de las dos mitades es una hilera de nueves.

-Nos podemos preguntar qué sucede al multiplicar números cíclicos por números mayores que el número n de sus cifras. Se obtiene un resultado bastante grato, a saber, que en todos los casos así el producto puede acabar reduciéndose, bien a una permutación cíclica del número inicial,o bien a una serie de n nueves. Para ello tendremos que separar el número obtenido en números de n cifras comenzando por la derecha y posteriormente sumarlos todos. Veamos lo que sucede con 142.857, así quedará claro esta propiedad y podremos generalizarla a cíclicos mayores.
Fijémonos primero en todos los multiplicadores mayores que n que no sean múltiplos de n+1. Por ejemplo, 142.857 x 123 = 17.571.411. Separemos las seis últimas cifras, y al número que forman sumémosle el definido por los dos restantes:


571.411
000017
571.428
La suma es permutación cíclica de 142.857. Veamos otro ejemplo:

142.857 ² = 20.408.122.449.


20408
122449
142857
Con esto ya quedará más claro esta propiedad y como generalizarlo a cíclicos mayores.

Si os interesa el tema podeis indagar y buscar alguna propiedad más o ver que ocurre con otros primos.