Una paradoja no es ni más ni menos una verdad chocante que desafía nuestro sentido común. Pero esto no quiere decir que no sea verdad, simplemente que nuestra mente no está acostumbrada a manejar ciertas situaciones como seres humanos que somos condicionados por nuestros sentidos.
La paradoja de Banach-Tarski surge de la verdad que nos revela el teorema que lleva el mismo nombre. Este teorema es el fruto de las intensas colaboraciones que llevaron a cabo dos gigantes de las matemáticas del siglo XX: Stephan Banach (matemático polaco padre del importante concepto del Análisis Funcional conocido como “espacio de Banach”) y Alfred Tarski (también polaco, gran impulsor de la filosofía de las matemáticas y la lógica). El resultado es el siguiente:
“ Si A y A' son subconjuntos de R^3 acotados y de interior no vacío, entonces son congruentes a trozos.”
Como lo que nos interesa aquí es lo que significa todo este mejunje podemos prescindir un poco del rigor y dar una idea intuitiva que nos acerque a muro de la paradoja:
“ Es posible partir un guisante en un número finito de trozos y reajustarlos (utilizando únicamente rotaciones y traslaciones, sin deformar ninguno de ellos) hasta obtener una bola del tamaño del Sol.”
¡No! ¡No os vayáis! ¡os lo digo en serio! ¡esto sigue siendo un blog de matemáticas! Evidentemente , esta afirmación es completamente absurda a primera vista y si nos da por salir a la calle a mediodía e interrogar a cualquier maruja que venga de la compra sobre el tema se reirá en nuestra cara de sabios matemáticos y nos mirará con lástima zalamera siguiendo su camino.
Lo paradójico de esta afirmación se debe, sobre todo, a su aparente incompatibilidad con nuestra noción de volumen.
Todos sabemos que el volumen es finitamente aditivo (si partimos y sumamos volvemos a obtener lo partido) y que es invariante bajo movimientos rígidos (por muchas vueltas que le demos al trozo que tengamos no lo vamos a hacer más grande ni más pequeño). Veamos un pequeño ejemplo que nos confirma lo paradójico de este teorema:
Sean VS y VG los volúmenes del Sol y de un guisante respectivamente, considerando ambos como esferas homogéneas, sabemos, por la fórmula del volumen de una esfera, que:
VS = 4/3*pi*R^3 ; VG = 4/3*pi*r^3
Con “R” descomunalmente mayor que “r”. Así tendríamos:
VG = 4/3*pi*r^3 = Volumen (A1) + … + Volumen (An) = 4/3*pi*R^3 = VS
Con {A1, … , An} una partición del volumen del volumen del guisante ¡esto es claramente absurdo! ¡Qué sencillo ha sido contradecir el teorema de Banach-Tarski...! y sólo usando propiedades de Geometría Elemental que cualquier griego de estos de andar por casa hubiera sabido ya antes de Cristo.
Sin embargo... hay algo que hemos supuesto muy ligeramente en nuestro argumento:
“Todo objeto de tres dimensiones tiene volumen”
Y resulta, señoras y señores, niños y niñas ¡que esto no es cierto! Y si uno de nuestros trozos de tres dimensiones no tiene volumen... ¡nuestra cadena de igualdades no tiene sentido!
Efectivamente, el teorema nos dice que “se puede” trocear el guisante de una manera finita y obtener, al reordenar los trozos, una esfera del tamaño del Sol. Pero no dice nada de cómo deben ser esos trozos. En particular estos trozos pueden ser de lo más extraño que uno se pueda echar a la cara... o mejor dicho, que no se pueda echar ¡porque estos trozos sólo pueden construirse matemáticamente ya que los seres humanos no estamos “diseñados” para saber cómo son en realidad! Es cómo manejar R^4... podemos trabajar con él a las mil maravillas pero nunca sabremos cómo es porque no estamos preparados para ello.
Estos trozos de los que nos habla el teorema se denominan “no medibles”. Las funciones que deberíamos utilizar para obtener su volumen no son integrables ni en el sentido de Riemann ni en el de Lebesgue.
Y ahora viene el “¡bueno es que así cualquiera, yo también me puedo inventar algo así para otra cosa y hago un teorema!”. Pues no es tan fácil. El teorema está demostrado y la demostración (constructiva, por cierto) más reducida que he encontrado consta de 14 páginas (el que quiera verla puede comentarlo y le envío un pdf aunque aviso que, por ejemplo, un alumno de 2º de Matemáticas con nociones básicas de topología no pasaría de la tercera página) y demuestra que podríamos trocear un guisante de una manera muy especial y reordenar los trozos de forma que reconstruyamos una esfera del tamaño del Sol.
Anda por ahí una versión del teorema un poco más suave del mismo:
“ Si tomamos la esfera S^2 (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y a las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a las de partida. “
De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que para cuatro es imposible.
Espero que os haya gustado este desafío a lo establecido que nos muestra, una vez más, cómo la intuición es muy necesaria en matemáticas pero nunca es suficiente.
Yo creo que voy a querer una explicación más detallada y con la demostración en mi cara jaja
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