Hotel infinito

El matemático Hilbert, era dueño y recepcionista de un hotel con dos peculiaridades. La primera es que en la recepción había un micrófono que se comunicaba con todas las habitaciones, la segunda, más importante aún, es que el hotel tenía infinitas habitaciones.
Un día, por extraño que parezca, el hotel se llenó.
Por la tarde llegó un tal Cantor, que deseaba una habitación y se la pidió a Hilbert. El problema era que todas las habitaciones estaban llenas, pero Hilbert encontró una solución para que Cantor pudiese pasar la noche en su hotel. Cogió el micrófono y dijo: "Cada huésped que salga de su habitación y se pase a la siguiente".
De tal manera que el que estuviese en la habitación nueve, pasaría a la diez, el de la trigésimo cuarta habitación, pasaría a la trigesimo quinta,... con lo que la habitación número uno, quedó vacía y Cantor pudo quedarse ahí. Como el hotel tenía infinitas habitaciones, no había ultima habitación.

Días más tarde, con el hotel aún lleno, se le presentó a Hilbert otro problema, Cantor le avisó de que acababa de llegar un autobús con infinitos turistas que querían hospedarse en el hotel. Hilbert, tras pensarlo un momento se le ocurrió coger de nuevo el megáfono y decir: "Cada huésped que salga de su habitación y multiplique por dos, el número de la habitación en la que se encuentre, su nueva habitación será el resultado obtenido".
De esta forma, un huésped con habitación x, pasaba a la habitación 2·x. Por lo que las habitaciones impares quedaban libre y Hilbert decidió ir metiendo a cada turista del autobus, en cada habitación impar, de tal forma que el primer turista fuese a la primera habitación, el segundo a la tercera, y así sucesivamente.
Las cosas parecían ir muy bien en el hotel, puesto que, aunque estuviese lleno, a Hilbert siempre se le ocurría una manera de meter a alguien (o infinitos) más.
Pero un día, con el hotel lleno, llegaron infinitos autobuses con infinitos turistas cada uno. Hilbert no sabía a priori como iba a solucionar este problema, pero se acordó de sus amigos los números primos, aquellos números tan particulares y solitarios que eran y son la base de las matemáticas.
Hilbert anunció por megáfono lo siguiente: "Cada huésped que salga de su habitación y mire si su habitación es la de un número primo, o la de una potencia de un número primo, en caso afirmativo, salga de la habitación y eleve al cuadrado el número de la habitación en la que se encuentra, su nueva habitación será el resultado obtenido, en caso negativo, permanezca en la habitación"
Entonces Hilbert asignó a cada autobús un número primo, y a cada turista de cada autobús, una potencia impar de dicho número, de forma que el primer turista del primer autobús iba a la habitación número dos(2^1), el segundo iba a la octava (2^3),... el primero del segundo autobús a la tercera(3^1), el segundo a la vigésimo séptima (3^3),... y así con cada autobús.
De esta manera tan peculiar Hilbert consiguió que todos los turistas tuvieses una habitación donde alojarse.

Para acabar, una frase: "Infinitos hay muchos, pero no todos los infinitos son iguales. Hay que saber tratarlos"