Fractales

En esta entrada hablaremos sobre los fractales, unas figuras geométricas muy comunes en la naturaleza y, sin lugar a duda, de  gran belleza ya sea estética o matemática.

Un fractal es una figura geométrica simple, que se repite a distintas escalas.

Un fractal puede provocar un efecto visual bastante bonito y de apariencia compleja, pero detrás de él, hay una maravillosa fórmula matemática.

Conjunto de Mandelbrot

Algo que puede sorprendenos es que la dimensión de un fractal no tiene porque ser un entero, sino que puede ser fraccionaria, y no determinarse de manera exacta. 

Un ejemplo muy típico de fractal es el conjunto de Mandelbrot, que se genera de la siguiente manera:

Dado un número c del plano (un número complejo), pertenece al conjunto de Mandelbrot si se tiene que los módulos de la secuencia de F_c(0), F_c(F_c(0) ),..., Fn_c(0) está acotada.

Siendo F_c (z) = z^2 + c

Teorema: Si existe 'i' mayor o igual que cero, tal que el módulo de Fi_c(0) < 2 entonces c no pertenece al conjunto de Mandelbrot.

Si c = (1,1) la secuencia sería: raíz de 2, raíz de 10, raíz de 98, ... que diverge, por lo que (1,1) no pertenece al conjunto, y por ejemplo, el punto (-1,0) sí que pertenece ya que su secuencia es: 0, -1, 0, -1,…, acotada.

El resultado, tras “colorear” los puntos que no pertenecen al conjunto en función del número de iteraciones que hayan hecho falta para averiguar si pertenece al conjunto según el teorema (de menor a mayor tonalidad), es este: 

Conjunto de Mandelbrot acercándonos a distintos puntos

Otros fractales dignos de destacar son el conjunto de Julia, la curva de Koch (también llamada copo de Koch) o la esponja de Menger. 

Curva de Koch

Parte del conjunto de Julia

El conjunto de Julia se forma de manera muy similar al del conjunto de Mandelbrot, sólo que utiliza dos parámetros para su generación.

Esponja de Menger

La esponja de Menger es una generalización tridimensional de la alfombra de Sierpinski, que es a su vez, la generalización bidimensional del conjunto de Cantor unidimensional.

Nos encontramos ante un fractal con superficie infinita pero volumen cero.

También existen los llamados fractales naturales, que se diferencian de los fractales matemáticos en que son finitos, a diferencia de la infinitud de uno que sea matemático. Nos los encontramos en la naturaleza, en las mismas nubes, en las ramas de los árboles, incluso en algunas flores y las conchas de los caracoles.

Como aplicación en la vida, los fractales ayudan en las redes de comuncaciones, a comprimir señales de audio, a entender la forma en que crecen los tejidos o evolucionan determinadas poblaciones, o en el análisis de los patrones sísmicos. Incluso existen métodos de análisis bursátil y de mercado que se basan en los fractales.