Fractales

En esta entrada hablaremos sobre los fractales, unas figuras geométricas muy comunes en la naturaleza y, sin lugar a duda, de  gran belleza ya sea estética o matemática.

Un fractal es una figura geométrica simple, que se repite a distintas escalas.

Un fractal puede provocar un efecto visual bastante bonito y de apariencia compleja, pero detrás de él, hay una maravillosa fórmula matemática.

¿Arruinar al casino? "La Martingala"

La Martingala es un método para apostar en juegos de azar. El método consiste en apostar una cantidad inicial y en caso de perder, doblar dicha apuesta, si se volviese a perder, se volvería a doblar la apuesta, y así sucesivamente hasta que se gane. En el instante en el que el jugador gana, se lleva una recompensa del valor que apostó inicialmente.
Realizando esto sucesivas veces, parece lógico que el jugador se lleve la apuesta incial multiplicado por el número de veces que haya ganado, es decir, cuanto más juegues, más dinero te llevas. Veamoslo con un ejemplo, imaginemos que jugamos a la ruleta en el casino.

La paradoja de Banach-Tarski: Cómo construir el Sol a partir de un guisante.

Hoy regresamos para hablaros de una interesante versión del milagro de los panes y los peces: “la paradoja de Banach-Tarski”.
Una paradoja no es ni más ni menos una verdad chocante que desafía nuestro sentido común. Pero esto no quiere decir que no sea verdad, simplemente que nuestra mente no está acostumbrada a manejar ciertas situaciones como seres humanos que somos condicionados por nuestros sentidos.
La paradoja de Banach-Tarski surge de la verdad que nos revela el teorema que lleva el mismo nombre. Este teorema es el fruto de las intensas colaboraciones que llevaron a cabo dos gigantes de las matemáticas del siglo XX: Stephan Banach (matemático polaco padre del importante concepto del Análisis Funcional conocido como “espacio de Banach”) y Alfred Tarski (también polaco, gran impulsor de la filosofía de las matemáticas y la lógica). El resultado es el siguiente:

“ Si A y A' son subconjuntos de R^3 acotados y de interior no vacío, entonces son congruentes a trozos.”

Regla de l'Hôpital quizás no sea un nombre apropiado.

Escribir el nombre completo de Guillaume de l'Hôpital ocuparía todo un párrafo entero, así que una versión mucho más reducida seria:

Guillaume-François-Antoine Marqués de l'Hôpital, marqués de Sainte-Mesme, Comte d'Entremont y Seigneur d'Ouques-la-Chaise.

Nació en París en 1661, en el seno de una familia noble francesa. Su padre era un Teniente General del Ejército del Rey, y su madre era hija de un Intendente en el mismo Ejército y Consejero de Estado.

Conjuntos CuCu

¿Qué son los conjuntos CuCu?
Lo primero, me gustaría hacer referencia al creador del blog "gaussianos" que es el que le ha dado nombre a dichos conjuntos. ¿Qué cuáles son dichos conjuntos? Pues un conjunto CuCu es un conjunto de números naturales tales que la suma de sus cubos sea igual al cuadrado de su suma.
Un ejemplo de conjunto CuCu es el formado por el 1,2,..., n con 'n' natural, ya que se cumple:

1^3+2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2

Es fácil de comprobarlo por inducción, se deja como ejercicio al lector.
Ahora bien, ¿existe algún otro conjunto CuCu?

Hotel infinito

El matemático Hilbert, era dueño y recepcionista de un hotel con dos peculiaridades. La primera es que en la recepción había un micrófono que se comunicaba con todas las habitaciones, la segunda, más importante aún, es que el hotel tenía infinitas habitaciones.
Un día, por extraño que parezca, el hotel se llenó.
Por la tarde llegó un tal Cantor, que deseaba una habitación y se la pidió a Hilbert. El problema era que todas las habitaciones estaban llenas, pero Hilbert encontró una solución para que Cantor pudiese pasar la noche en su hotel. Cogió el micrófono y dijo: "Cada huésped que salga de su habitación y se pase a la siguiente".
De tal manera que el que estuviese en la habitación nueve, pasaría a la diez, el de la trigésimo cuarta habitación, pasaría a la trigesimo quinta,... con lo que la habitación número uno, quedó vacía y Cantor pudo quedarse ahí. Como el hotel tenía infinitas habitaciones, no había ultima habitación.

Números Cíclicos

El número 142.857 es uno de los enteros más curiosos. Pues, aparte del número 1, donde la propiedad es trivial, es el mínimo de los «números cíclicos». Veamos ahora la definición de número cíclico:

Un número cíclico es un número entero de n cifras que presenta la característica de que al multiplicarlo por cualquier número no superior a n (es decir, entre 1 y n, ambos incluidos), el resultado será un producto con las mismas cifras y en el mismo orden cíclico, es decir, empezando por distinta cifra, pero siguiendo el mismo orden hasta el final, para después continuar con las cifras del principio del número original.

Una de sus muchas características es que al multiplicarlo por una unidad más, (por n+1), el resultado estará compuesto unicamente por nueves.
Veamos el caso de 142.857:

1 x 142.857 = 142.857
2 x 142.857 = 285.714
3 x 142.857 = 428.571
4 x 142.857 = 571.428
5 x 142.857 = 714.285
6 x 142.857 = 857.142
7 x 142.857 = 999.999

Problema: Triángulo mágico

Bueno, supongo que muchos de vosotros alguna vez habrá jugado a completar una especie de cuadrado "mágico" con ciertos números de tal manera que la suma de cada horizontal, vertical y diagonal sea la misma cantidad.
Esta problema es similar, en lugar de ser un cuadrado, será un triángulo (como el que aparece más abajo). En él se deberá colocar los números del 1 al 9, sin repetir, de tal manera que la suma de cada arista del triángulo sume una misma cantidad. Puesto que no es complicado, se plantea que se intente que, en primer lugar, la suma de las arista sea 20. Una vez superado este reto, podeis intentar que la suma de cada arista sea 17.
Suerte.

Todos los caminos llevan a Roma... pero aún así te aconsejo mirar un mapa.

Hoy os traemos un pequeño aperitivo geométrico de la mano de los señores Delaunay y Voronoi, dos matemáticos rusos que le han hecho la vida más fácil a toda una multitud de diversos profesionales tales como arquitectos o ingenieros de caminos gracias al método que os vamos a explicar.

En resumidas cuentas, lo que hoy vamos a intentar hacer es pintar imágenes como esta:

Paradoja de los monos y los plátanos

Esta paradoja no tiene exactamente que ver con las matemáticas, pero si con el instinto, espero que os guste.

Para ilustrar la necesidad de preguntarse el por qué de las cosas, la necesidad de cuestionarse lo establecido, la necesidad de conocer las propias creencias y desafiarlas regularmente, contaré hoy la paradoja de los monos y los plátanos.

En un experimento se metieron cinco monos en una habitación. En el centro de la misma ubicaron una escalera, y en lo alto, unos plátanos. Cuando uno de los monos ascendía por la escalera para acceder a los plátanos, los experimentadores rociaban al resto de monos con un chorro de agua fría. Al cabo de un tiempo, los monos asimilaron la conexión entre el uso de la escalera y el chorro de agua fría, de modo que cuando uno de ellos se aventuraba a ascender un busca de un plátano, el resto de monos se lo impedían con violencia. Al final, e incluso ante la tentación del alimento, ningún mono se atrevía a subir por la escalera.

A hombros de gigantes: Julio Rey Pastor.

Como comienzo para nuestra nueva sección sobre grandes matemáticos de la Historia, hoy traigo un pequeño homenaje a un gran matemático español: don Julio Rey Pastor, uno de los pocos que logró sobresalir en el plano internacional incluso en plena etapa franquista con la falta de recursos que eso conllevaba.

Julio Rey Pastor nació en Logroño en 1888. Su carácter impulsivo le hizo decantarse en un principio por la carrera militar pero cuál fue su decepción cuando le denegaron el acceso a la Academia Militar de Zaragoza por suspender el examen de Matemáticas de la prueba de acceso.

Frustrado por el hecho, toma la que posiblemente fue una de las decisiones más importantes de su vida: se matriculó en Ciencias Exactas (antiguo nombre de la actual carrera de Matemáticas) en la Universidad de Zaragoza, dispuesto a zanjar su problema con los números de una manera un tanto radical.

Hipótesis del continuo de Cantor

Cantor, matemático alemán, se interesó mucho por cuántos números reales existen, es decir, su cardinal. Además Cantor llamaba a este conjunto "el continuo", por lo de la recta real, que es continua, sin agujeros.

Cantor fue un verdadero visionario de las matemáticas y el padre de la teoría de conjuntos. 

Alumno de Weierstrass, tuvo fuertes discusiones con Kronecker, que estaba en contra de las ideas disparatadas de Cantor.

Demostró que el cardinal de los naturales es estrictamente menor que el de los reales. Lo que postula la hipótesis del continuo es que no existe ningún conjunto que tenga un cardinal que esté comprendido entre el de los naturales y el de los reales, es decir, no existe A conjunto tal que |N| < |A| < |R 

Además, postula que Aleph sub uno es igual a 2 elevado a Aleph sub cero. 

Cantor murió loco de atar en un manicomio alemán, con la mente hecha polvo por su obsesión con la demostración de la hipótesis del continuo, que fue incluida por Hilbert en su famosa lista de los 23 problemas. Años posteriores a la muerte de Cantor, se demostró que su hipótesis del continuo es indemostrable y contituye un axioma independiente del álgebra

Controla el cuerpo cuando trabajes con primos

Saludos, hoy estrenamos nueva sección de curiosidades, como no podía ser de otra forma, con el paradigma del misterio en matemáticas: nuestros desconcertantes colegas, los números primos.

Primero, una pequeña reflexión: ¿Cuál es el único número par que a la vez es primo? No os paréis mucho a pensarlo porque lo tenéis cerca... ¿ya? exactamente, es el 2. Magnífico número el 2... es el segundo natural y es divisible entre 2 luego es par pero ¡claro! también es divisible entre 1... y como esos dos son sus únicos divisores... ¡resulta que también es primo! (para los puristas como yo, sí también es divisible entre -1 y -2 pero esa es otra forma de definir a los primos). No os rompáis mucho más la cabeza... podéis apostar tranquilamente un brazo a que no vais a encontrar otro número con similares características.

Problema: Infección en Hawaii

Verdadero problema: 
En una isla cercana a Haiti, la mitad de los habitantes fueron embrujados por un Vudú y transformados en Zombies, esos Zombies no se comportan según las típicas convenciones: Hablan y no se pueden distinguir de los seres humanos normales, la única diferencia es que los zombies mienten siempre y los humanos siempre dicen la verdad. La situació es enormemente complicada por el hecho que aunque los nativos entiendan nuestro idioma a la perfección un antiguo tabú les prohíbe de usar palabras extranjeras cuando hablan. Por lo cual al hacerle una pregunta que requiere una respuesta de si o no, ellos contestan "Bal" o "Da", uno de los cuales significa si y el otro no. El problema es que no sabemos si "Bal" o "Da" es si o no.

Tú te encuentras en esa isla y quieres casarte con la hija del rey. El rey desea que su hija se case sólo con alguien muy inteligente. Así que tienes que superar una prueba. La prueba consiste en hacer al brujo del rey una sola pregunta. Si el contesta "Bal" entonces podrás casarte con la hija del rey, pero si contesta "Da" habrás fracasado en la prueba. El problema consiste en encontrar una pregunta tal que, independientemente del hecho de que el brujo sea humano o Zombie e independientemente del hecho de que "Bal" signifique si o no, el brujo conteste "Bal".

- - - Lo que Antonio escribió:


Bueno, pues esto es un acertijo, como no encuentro la página de donde lo saqué intentaré ponerlo lo más fiel posible:
Las noticias dan a conocer que un virus se está extendiendo por Hawaii, un virus que acabará por convertir a las personas en zombies pero que en su fase temprana no tiene manifestación física alguna. Sin embargo, las personas infectadas tienen dos cualidades:
-no pueden responder preguntas complejas
-siempre mienten
Un equipo militar español(en el fondo era inglés, pero que más da XD) es enviado a la isla con la intención de controlar el virus, sin embargo, en medio de la travesía por la isla son atacados y unos de los miembros, Jose el Crack, se separa y al volver al grupo todos tienen la incertidumbre de si estará infectado o no. Deciden pues ponerle la siguiente prueba para demostrar que está libre de la infección:
Los habitantes de la isla no pueden hablar en español, sin embargo sí que lo entienden. Además, solo responden a las preguntas con un sí o un no en su idioma. He aquí la prueba, sabiendo que si y no son "das" y "ba"(no se sabe cual es sí y cuál es no), ¿qué única pregunta ha de formular Jose al soberano de la isla(que no muestra signos físicos de la infección pero que sí podría albergarla en su inicio) para saber cuál es "sí" y cuál es "no" sabiendo que los habitantes solo responden con sí o no y sabiendo que los infectados mienten?
Pues eso, suerte XD

Problema: Los Interruptores

Esto no es un problema de matemáticas, pero bueno es de lógica que tiene que ver algo con las matemáticas y para que pensemos un poquito. Aquí va el problema planteado:


Un hombre está al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una habitación con la puerta cerrada.
Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitación, que esta inicialmente apagada.

¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo?


El primero que dé con la respuesta correcta, recibirá un premio (tampoco gran cosa, un chicle o un caramelo, el presupuesto proporcionado por C. Bejines no es mayor...). Espero que os calentéis un poco la cabeza. Si alguno sabe la respuesta porque conocía ya el problema que lo deje para los demás, y no vale hacer trampas buscando en Google, que en internet hoy en día hay mucha información.

Eso es todo. Hasta otra.

Introducción

Este blog trata sobre curiosidades matemáticas, el extenso equipo encargado de hacerlo está compuesto por un subconjunto de matemáticos llamado "superPros", en el que estan grandes matemáticos como C.Bejines y otros.
Disfrutad del blog.